偶然に起こる確率の計算方法について

　(=^・^=)の記事のご批判に「そうなの偶然だ」とゆうのが、良くあります。(=^・^=)はその反論として、偶然にそんなことが起きてしまう確率を計算して、偶然にはほとんど起きないことを主張することがあります。でも、どの記事にも偶然に起こってしまう確率の計算方法は書いていません。いれは以下に理由があります。
　①すででに多くのサイト取り上げられており、いまさら(=^・^=)が書く必要がない。たとえば（１）（２）（３）
　②記事にちょい書きするには、分量が多すぎる
でも、１度くらい説明する必要があつと思いますのでこの記事を書きます。

１．例題１
　その昔、うさぎとカメさんが競争し、うさぎさんが１回、カメさんが７回勝ちました。うさぎさんは悔しくて仕方ありません。そこで、うさぎさんは言いました。
　「本当はおれの方が強いのさ、いまのは偶然だと」
そしたら、かめさんは言いました。
　「だったら、偶然に起こる確率を計算してみよう」
と言いました。計算してみてください。


２．例題１への回答―その１―
　うさぎさんとカメさんの実力が、同じであると仮定し、偶然に起こる確率を計算してみます。一番、わかりやすい方法は、すべての可能性を洗い出し、その中から、うさぎさんが１勝以下になる割合を計算します。
　①うさぎさんとカメさんが、８回勝負したとして、１回戦から８回戦まで、カメさんが勝つかうさぎさんがかつの２通りのパターンしかありません。しかも、どちらもおこる確率は同じです。このようなパターンは
　　１回戦２通りで、２回戦２通りで、二回戦までで４通りのパターンがあります。
　　３回戦も２通りなので、３回戦まででは８通り、
　　４回戦で１６通り、５回戦で３２通り、６回戦で６４通り、７回戦で１２８通り、
　　８回戦で２５６通り
です。うさぎさんとカメさんの実力が同じなら、この２５６通りはすべて同じ確率で起きます。
　②うさぎさんが１勝以下の通り数
　　a)全負けは１通り
　　b)１勝は、１回戦から８回戦戦のとれか一つで勝ので８通りです。
　　c)合計は９通りですね。
　③うさぎさんが偶然にも１勝しかできない確率
　　全部で２５６通りあり、かつ各通りが生じる確率は同じです。そして、うさぎさんが１勝以下となるとおり数は、９通りです。だから、うさぎさんが１勝しかできない事が偶然に起こる確率は、
　　９÷２５６＝０．０３５（３・５％）
です。

３．例題１への回答―その２（χ²値を使う）
　全体の通り数とか計算できるのは、うさぎとカメさんが合計１０００試合もしてたら、計算が大変です。そこで、もう少しうまく計算する方法は無いのでしょうか？
　χ²値を使うともっと簡単に計算できます。χ²値は、
　　期待値：変わらないとした起こるであろう値（８戦ですので、実力が同じならうさぎもかめも４勝です）
　　実測値：実際に起きた値、うさぎは１、カメは７です。
　　χ²値：（実測値－期待値）²÷期待値
　　　　a)うさぎさんは（１－４）²÷４＝２．２５
　　　　b)カメさんは（７－４）²÷４＝２．２５
　χ²和
　　　全てのχ²値の合計です。この例では、
　　　　２．２５＋２．２５＝４．５
　です。
　自由度：前年と今年、うさぎとカメなど２物を比べる場合は１です。
　　　　　Ｏ、Ａ，Ｂ、ＡＢのように４つを比べるなら３です。
　　　　　概ね比べるものの数ー１みたいです。
　これだけの数字が分かるとExcelでは、セルに
　　　＝ＣＨＩＤＳＩＴ（χ²和、自由度）
と入れると、簡単に偶然に起こる確率を計算できます（４）。この場合、３．４％になりました。２と殆ど同じです。この計算方法は１０００試合でも、同じ方法で計算できます。なお、統計の世界では偶然に起こる確率を「危険率」と呼ぶみたいです。(=^・^=)は、この計算過程を以下のような表にまとめていたりします。なお、(=^・^=)のＥｘｃｅｌ（バージョン０１４．０．６１１５．５００３）では、ＣＨＩＱ。ＤＩＳＴ．ＲＴです。

　表―１　χ²和から、偶然に起こる確率を計算した例




４．１０００試合したら
　①例題２　うさぎさんは２，３の計算結果に満足せず結局、１０００試合しました。その結果、うさぎさん４５０勝、カメさん５５０勝しました。うさぎさんとカメさんが実力が同じとして、こようなことが偶然に起こる確率を計算してみてください。

　②答え　以下の表の通りです。




５．少し複雑な問題
　ＪＡ伊達みらいは、福島県伊達市および伊達郡を管轄しております（６）。そこで生産では１万６千トン程度のモモが生産されています（７）。日本のモモの生産量は約１５万トンなので、１０個に１個以上はＪＡ伊達みらいさんのから出荷されています。ＪＡ伊達みらいでは、モモの放射性セシウムを以下の通り管理しています。
　①７日程度前に検査用サンプル品を農家ごとに集め、検査したのち合格した農家さんのみに出荷を認め、それ以外は出荷できないようにしています。
　②５０ベクレル／㎏基準を超過した場合、複数サンプル提出にて再検査します。そして１００ベクレル/kgが見つかれば出荷自粛を行い、さらに出荷制限の発動を行政に依頼するそうです（対象になるモモは見つかっていません）
　③これまで、１９６３件の検査を行いその９７．３％には放射性セシウムが見つかっていません（検出限界は２０ベクレル／ｋｇ）です。１９６３件ですので、
　２０ベクレル未満　1,638件　
　２０ベクレル以上　　　45件
になると思います。一方、国も福島県が検査したモモの検査結果を発表してます（９）。(=^・^=)の集計では
　２０ベクレル未満　18件
　２０ベクレル以上　 2件
です。ともに今日（７／３０）までのＨＰ掲載分
　福島県とＪＡ伊達みらいの検査結果同じとして、このような事が偶然に起こる確率を計算してみます。この確率が極端に小さい（たとえば５％以下）なら、ＪＡ伊達みらいと福島県の検査結果が違っていることになります。
計算で難しいのは期待値です。どの数字を比較するかとゆうと
　伊達みらいの実測値の
　　２０ベクレル／ｋｇ未満
　　２０ベクレル／ｋｇ以上
　福島県の計測値の
　　２０ベクレル／ｋｇ未満
　　２０ベクレル／ｋｇ以上
の４つの数字を比較することになると思います。当然、４の数値の期待値を検査しなくてはなりません。

①２０ベクレル未満と２０ベクレル以上の割合を計算する。
　同じものを検査しているのですから、ＪＡ伊達みらいも福島県も同じ検査検査結果になるはずです。検査数は大幅に違いますが割合は同じでなければなりません。そこで、２０ベクレル／ｋｇ未満と２０ベクレル以上の割合をＪＡ伊達みらいと福島県の合計してして、割合を出します。
　a)２０ベクレル／ｋｇ未満の合計　１，６５６件
　b)２０ベクレル／ｋｇ以上の合計　　　　４７件
　c)全体の合計は、　　　　　　　　１．７０３件
です。ここから割合を計算すると
　d)２０ベクレル／ｋｇ未満の割合　0.972（1656÷1703:97.2%)
f)２０ベクレル／ｋｇ以上の割合　0.028(47÷1703:2.8%)
になります。すると期待値は、
　２０ベクレル／ｋｇ未満では、検査総数×２０ベクレル／ｋｇ未満の割合
　２０ベクレル／ｋｇ以上でも、検査総数×２０ベクレル／ｋｇ以上の割合
で計算しますが、これが福島県、ＪＡ伊達みらいにあるので、４つの期待値が出ています。
　期待値a)伊達みらい検査で２０ベクレル／ｋｇ未満　1636.6件（ １，６５６×０．９７２）
　期待値b)伊達みらい検査で２０ベクレル／ｋｇ以上　　46.4件（　１．６５６×０．０２８）
　期待値c)福島県検査で２０ベクレル／ｋｇ未満　19.4件（ ２０×０．９７２）
　期待値d)福島県検査で２０ベクレル／ｋｇ以上　 0.6件（ ２０×０．０２８）
これで、計算はできます。 ４つの値から χ²の合計を計算し、Excelのワークシートに
　＝ＣＨＩＤＳＩＴ（χ²和、３）
といれれば偶然に起こる確率が計算できます。以上の結果を踏まえ、偶然の起こる確率の検査表ができました。

　

　偶然に起こる確率は 約２７％です。ＪＡ伊達みらいと福島県の検査結果があっている確率は２７％みたいです。でも、２７％の数値をとらえ、２７％しかないから間違っていると結論すると、２７％は誤った結論になってしまいます。

＜余談＞
　数学が嫌いなみなさん、ややこしい話をしてすいません。なんか、お国の説明に「統計的に明確な差はない」なんてきわめて科学な説明をしているふりをすることががります。(=^・^=)の知る限り、明確な定義があります。「同じと仮定して偶然に起こる確率が５％以下」と結う意味です。もし５．１％なら当然「統計的に明確な差はない」になります。一方、偶然に起こる確率が５０％以上なのに、ほんの小さな数値の違いを言い立て、数値上がっと有用なブログも見たことがあります。こうした背景をご理解いただきたくこの記事を書きました。
　是非ともご質問、ご意見をお願いします。(=^・^=)はメールアドレスも(=^・^=)のＨＰでオープンしています。
「私のHPでーす。見てね」
のクリックで飛ぶと思います。


―参考にしたサイト様―
（１）カイ二乗検定 - Wikipedia
（２）カイ２乗分布，カイ２乗検定
（３）3.3 カイ二乗検定
（４）CHIDIST関数の使い方　初心者のエクセル(Excel)学習・入門
（５）仮説検定 - Wikipedia
（６）政府統計の総合窓口　GL08020103
（８）">全国の桃の産地について：桃の生産量
（９）農林水産省/食品中の放射性物質の検査結果（厚生労働省）